calculo difercial

Funciones

Funciones

Dominio: el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función      es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien     y está definido por:

En se denomina dominio un conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

CONTRA DOMINIO: El conjunto de todos los valores resultantes de la variable dependiente “y”. Otros nombres para éste son: recorrido (poco empleado en cálculo); ámbito (termino muy reciente para este concepto); imagen (muy utilizado en álgebra y teoría de conjuntos); rango (muy empleado en cálculo).

 

LIMITES

Límite de una función: El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

Continuidad de una función: una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Derivada

Derivada

la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

                DERIVADAS

 

  Razón de cambio

la Razón Instantánea Razón de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

*El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

     *La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

*El volumen de un globo mientras se infla

*La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P (t, f (t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

DERIVACION DE FUNCIONES

La función f(x) = ex   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

 Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e^x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = e^x en cualquier punto (x,e^x) es igual a la coordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = e^x  en el punto (0,1) la pendiente es 1.

 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:

1) y = e ^{2x - 1}

^2)x=e

3) y = x³e^x

Ejercicio de práctica: Deriva:

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:

1)    f(x) = e^2x

3)  _y=e

4)    g(x) = (e ^–x + e ^x)³

5)    y = x² e^-x

6)    y = x² e^x – 2x e^x + 2 e^x

7)    f(x) = 4^x

8)    g(x) = 5 ^{x – 2}

9)    h(x) = 2e ^{x + 1}

10)   f(x) = 4 ^{–x + !}

Derivada de la función inversa

En matemática, la inversa de una función  es una función que, en cierta manera, "deshace" el efecto de   función inversa para una definición forma  La inversa de  se denota cómo. Las expresiones  y  son equivalentes.

Sus respectivas derivadas, asumiendo que existen, son recíprocas, tal y como se deduce a partir de la notación de Leibniz:

Eso es una consecuencia directa de la regla de la cadena, ya que y la derivada de  respecto  es 1.

Escribiendo explícitamente la dependencia de   respecto  y el punto dónde se calcula la derivada y usando la notación de LaGrange, la fórmula de la derivada de la inversa es

Geométricamente, una función y su inversa tienen gráficas que son reflexiones respecto la línea. Esta reflexión transforma el gradiente de cualquier línea en su recíproco.

Asumiendo que  tiene inverso en un entorno de  y que su derivada en este punto es distinta de cero, su inversa será diferenciable en  y que su derivada viene dada por la expresión anterior.

Derivación de funciones trigonométricas

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) =sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Interpretación  geométrica de la derivada

Observa el gráfico, en él está representada una función y=f(x) y hemos tomado dos puntos:
              
               P(xo,f(xo)) y Q(xo+h, f(xo+h))

La recta PQ es una recta secante a la curva cuya pendiente es:

Cuando h tiende a 0, o lo que es lo mismo cuando Q tiende a P, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta tangente será

La derivada de una función  de x e también una función de  x .puede ocurrir  que esta nueva función sea también  derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva. Analógicamente, la derivada de la segunda derivada se llama la tercera derivada y así sucesivamente hasta  la enésima derivada

                          

PRE CÁLCULO
EL PRE CÁLCULO, ES UNA FORMA AVANZADA DE ÁLGEBRA. EN OCASIONES ES CONSIDERADO UN CURSO HONORÍFICO. LOS CURSOS Y LOS LIBROS DE PRE CÁLCULO SE PREPARARAN PARA LOS ESTUDIANTES DE CÁLCULO. PRE CÁLCULO INCLUYE TÍPICA MENTE UNA REVISIÓN DE álgebra  Y TRIGONOMETRÍA, ASÍ COMO UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS, A LOS VECTORES, A LOS NÚMEROS COMPLEJOS, A LAS SECCIONES CÓNICAS, Y A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistema de coordenadas lineales y rectangulares

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más general mente variedad diferencia ble.
En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.

Lineales Rectangulares

 DES IGUALDADES E INTERVALO

INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales. 

En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado,

Si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto.  Si

Uno de extremos pertenece al conjunto y el otro  no, se dice que

Semi abierto o semi derruido.

Des igualdades. una desigualdad es un proceso que consisten en transformar las des igualdades hasta que el conjunto solución sea evidente.   Las herramientas utilizadas son las propiedades de orden ya reseñadas.  Es decir, que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solución,

En lo referente:

1. Se puede adicionar o aumentar  el mismo número miembros de la

Desigualdad.

2. Se pueden  multiplicar o dividir ambos miembros de una  desigualdad por

Un número positivo, sin que la desigualdad cambie de sentido.

3. se pueden multiplicar ambos miembros por un número  negativo, pero se

Debe de cambiar el sentido de la desigualdad